Resolución de problemas. Tercer ciclo de Primaria

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Tercer Ciclo de Educación Primaria

Por D. Jacinto Torres Marín

PASOS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Paso 1: Entender el Problema. 

¿Entiendes todo lo que dice?
¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
¿Distingues cuáles son los datos?
¿Sabes a qué quieres llegar?
¿Hay suficiente información?
¿Hay información extraña?
¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
Paso 2: Configurar un Plan. 
¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).
1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). 2. Usar una variable.
3. Buscar un Patrón 

4. Hacer una lista.
5. Resolver un problema similar más simple. 6. Hacer una figura.
7. Hacer un diagrama 

8. Usar razonamiento directo.
9. Usar razonamiento indirecto. 

10. Usar las propiedades de los Números.
11. Resolver un problema equivalente. 

12. Trabajar hacia atrás.
13. Usar casos 

14. Resolver una ecuación
15. Buscar una fórmula. 

16. Usar un modelo.
17. Usar análisis dimensional. 

18. Identificar sub-metas.
19. Usar coordenadas. 

20. Usar simetría.
Paso 3: Ejecutar el Plan.

Aplicar las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso. 

Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!). 

No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.
Paso 4: Mirar hacia atrás. 
¿Es tu solución correcta? 

¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
¿Adviertes una solución más sencilla?
¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue:

Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas:

1. Acepta el reto de resolver el problema.
2. Reescribe el problema en tus propias palabras.
3. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...
4. Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias.
5. Si es apropiado, trata el problema con números simples.
6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.
7. Analiza el problema desde varios ángulos.
8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar
9. Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito.
10. No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.
11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá.
12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema.
Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución
13. Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución.
14. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después.
15. Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.
16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.

Por la Srta. Isabel Ramírez 

Siguiendo el cuaderno de estrategias para la resolución de problemas de la Editorial Galera, la cual tenemos en el colegio puedo resumir algunas de las estrategias que he utilizado en clase y de la cual aporto también digitalmente cuadernillo rojo y verde con sus soluciones. El cuadernillo rojo es el que se utiliza para 6º y el verde es para 5º.
· El primer paso siempre se trata de tener una lectura comprensiva. El enunciado del ejercicio puede ser. Tacha la información que no sea necesaria del enunciado.
SIMPLIFICACIÓN DE ENUNCIADOS
· Piensa y escribe la respuesta de cada problema (viene el enunciado, el esquema, el cálculo y falta solamente la respuesta por completar)
· Razonamiento simbólico
· Adivinanzas y jeroglíficos (entremezclo algunas de Jesús Escudero).
· Ordena las preguntas de cada enunciado para resolver el problema. (vienen los pasos a seguir desordenados y se deben de ordenar)
· Elabora un esquema que ayude a entender el problema
· Escribe los enunciados y elabora los esquemas y operaciones de los problemas teniendo en cuenta las respuestas. (Dan sólo las respuestas. Debe hacer enunciado, esquema, y cálculo )
· Dan enunciado y esquema. Debe completar cálculo y respuesta.
· Empareja las operaciones con las explicaciones más adecuadas.
· Inventa problemas.
· Observa el esquema y escribe el enunciado y la respuesta.
· Observa el esquema y la respuesta y escribe el enunciado y el cálculo
· Escribe el enunciado y elabora el esquema en cada caso. (Dan el cálculo y la respuesta)

ADEMAS DE TODO ESTO, INTENTO PONER RETOS A LOS ALUMNOS, LES HAGO QUE REPRESENTEN SU MANERA DE RESOLVER EL PROBLEMA A LOS DEMÁS COMPAÑEROS, LES HAGO EXPLICAR UNOS A OTROS FORMAS DIFERENTES DE HACER EL PROBLEMA, LES CUESTIONO CONTINUAMENTE PREGUNTAS PARA QUE ME SEPAN RAZONAR Y ME HAGO INCLUSO ALGUNAS VECES COMO QUE NO ENTIENDO NADA PARA QUE ME EXPLIQUEN PORMENORIZADAMENTE EL PROBLEMA CON ESQUEMAS…

Por Mª Paz Orellana

Del libro de Fernández Bravo sobre Resolución de problemas matemáticos: Creatividad y razonamiento en la mente de los niños.

Grupo Mayéutica-Educación

consulta@grupomayeutica.com

LA MATEMÁTICA

• Es una actividad mental.
• El pensamiento matemático es uno y no varios.
• Su instrumento no es el cálculo sino el razonamiento.
• El ejercicio de la Matemática consiste principalmente en el descubrimiento y aplicación de estructuras.

FASES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1. Querer. La voluntad y la motivación aumentan las posibilidades de éxito en la resolución de problemas.
2. Comprensión. Necesidad de comprensión del problema por parte del alumno: Lo que tengo, lo que me piden, a dónde tengo que llegar,…
3. Formulación de ideas. Antes de concebir un plan es necesaria la formulación de ideas que se infieren de los datos y las condiciones del problema.
4. Investigar.

• Se potencia la generación de ideas del alumno, no del profesor.
• Se desarrollan:

• sus facultades creativas,
• el razonamiento,
• la memoria,
• La flexibilidad y reversibilidad de pensamiento.
• Su iniciativa Y la aplicación de conocimientos.

5. Comunicación.

• El alumno comunica su proceso de resolución, sus estrategias, sus ideas.
• Se genera un diálogo que sirve de contrastación del proceso.
• Se defienden las iniciativas y se aceptan las refutaciones.
• Se desarrolla la autonomía desde la explicación a los demás de su decisión creativa.
• Se potencia la investigación conjunta y no competitiva.

6. Conclusiones.

• Es la fase en la que el alumno anota, sobre el proceso de resolución utilizado por él.
• Las conclusiones serán ideas que podamos utilizar en las sucesivas resoluciones de situaciones problemáticas.

ERRORES MÁS HABITUALES DE LOS ESCOLARES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

(PAG 54-56)

MODELOS DE INTERVENCIÓN PARA LA GENERACIÓN DE ESTRATEGIAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS (PAG 59 A 79)

PROBLEMAS TIPO A PARTIR DE LOS 10- 11 AÑOS (PAG 149 A 173)

Por D. Isidro Rodríguez Pulido

Por D. Juan Bueno Jiménez

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS PARA DESARROLLAR LA HABILIDAD PARA RESOLVER PROBLEMAS

 INTRODUCCIÓN

Algo sobre resolución de problemas matemáticos en Primaria. Documento de José Antonio Fernández Bravo

SIGMA Nº 29 • SIGMA 29 zk.

Comunicación y conclusiones. El alumno comunica su proceso de resolución, sus estrategias, sus ideas. Se genera un diálogo que sirve de contrastación del proceso. Se defienden las iniciativas y se aceptan las refutaciones. Se desarrolla la autonomía desde la explicación a los demás de su decisión creativa. Este ejercicio libre tiene poder de expansión desde la investigación conjunta, y no competitiva. Las situaciones problemáticas deben desplegar la capacidad inventiva del alumno para que la capacidad de diálogo sea eficaz, alcanzando el gozo que este actuar proporciona, independientemente del éxito obtenido. El aprendizaje se alimenta, más que del acierto de la comunicación, de las conclusiones derivadas de ella.

Conclusiones que anotan el por qué de su acierto o de su error; la calidad de comprensión del problema, las falacias utilizadas en su razonamiento, los métodos que han demostrado la validez de la solución del problema: ensayo y error, generalización, analogía, particularización, empezar desde atrás,... Las conclusiones serán ideas que podamos utilizar en las sucesivas resoluciones de situaciones problemáticas. El respeto y la tolerancia, la aceptación de ideas, la honestidad, la colaboración y la asimilación de técnicas de base pertenecerán al contexto de resolución de problemas.

Si no hay comunicación las conclusiones no se objetivarán y serán subjetivas en tanto al modo de proceder del alumno, o en tanto a la forma de corregir del profesor. Cuando la conclusión es estrategia para el profesor y elaboración para el alumno, el proceso de resolución, correcto o incorrecto, no importa como calificación del sujeto, sino como cualificación del aprendizaje a partir de unos fundamentos de los que somos capaces de responsabilizarnos.

La actividad escolar debe apostar esencialmente por tareas creativas, desde las que puedan profundizar para encontrar nuevos conocimientos, inventar y reconstruir problemas para llegar a conclusiones válidas mediante relaciones en sí y relaciones entre relaciones, sin accidentalidad, sin adivinación y sin arbitrariedad. Inventar por inventar, no sirve de nada; la creatividad como forma de conocimiento no consiste en permitir que el alumno haga todo lo que se le ocurra, sino en conseguir que al alumno se le ocurra todo lo que científicamente se puede permitir.

EL ARTE DE PREGUNTAR

Mientras que el ser humano se comunique mediante el lenguaje toda didáctica que articule aprendizaje descubrirá necesariamente el arte de preguntar.

Un lapicero cuesta menos que un bolígrafo. ¿Puedo comprarme el lapicero y el bolígrafo?

Alumno 1: Yo sí porque a mí me lo paga mi madre.

Alumno 2: Pero, dice que si te lo puedes comprar tú.

A1: Yo no, porque no tengo dinero.

Profesor: Supongamos que nosotros tenemos dinero. ¿Podríamos comprarlo?

Alumnos: Podríamos sacarlo de la hucha; o de la paga; ...

P: Entonces, veo que si lo sacamos de la hucha, o de la paga, podríais comprarlo.

A3: Eso depende de lo que saquemos.

A4: O de lo que tengamos en la hucha.

P: ¿Por qué?, no lo entiendo; si sacamos dinero podremos comprarlo. (Contraejemplo).

A3: No, depende del dinero que tengamos.

P: Vamos a suponer un dinero. Abrimos la hucha, y ¿qué dinero sacamos? (Ejemplo).

(Anotamos lo que nos van diciendo: 2, 5, 10, 20, 200,...).

• Entonces, ¿con 200 euros podremos comprarlo?

A: Sí, porque es mucho dinero.

P: De acuerdo. Entonces, borraremos 2 Euros, porque al ser poco dinero, estamos seguros de

que no podremos comprarlo con esos 2 Euros.

A: Claro.

P: ¿Si tuviésemos 2 Euros nos faltaría dinero?

A: Sí, bastante.

P: ¿Para qué nos faltaría dinero, para comprar el bolígrafo o para comprar el lapicero?

(Contraejemplo).

(Algunos hay que dicen que nos faltaría dinero para las dos cosas; otros, para el lapicero; y los

más para el bolígrafo porque, según ellos, cuesta más que el lapicero. Dialogando deberíamos

llegar a establecer una clasificación de las posibilidades:

• Que nos falte dinero sólo para el bolígrafo.

• Que no es posible que nos falte dinero sólo para el lapicero.

• Que si nos falta dinero para comprar una y sólo una de las dos cosas, nos falta dinero

para comprar las dos cosas juntas.

Durante esta conducción de ideas, aparece con premura la cuestión lógica; algún alumno hay

que asegura que todo esto depende de lo que cueste el bolígrafo y el lapicero).

A: Depende de lo que cueste el lapicero y el bolígrafo.

P: Entonces, ¿no depende del dinero que tengamos?

A: Sí, porque si no tienes dinero no puedes comprarlo.

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P: ¿Cómo sabes si tienes dinero suficiente para poder comprarlo?

A: Tengo que saber cuanto cuesta el lapicero y el bolígrafo.

P: Según lo que dices, ¿con 2 Euros, podremos, o no?

A: Es que hay que saber...

P: Entonces, ¿vuelvo a escribir en la pizarra 2 Euros?

A: Claro, porque... (Y es en este momento, cuando te explican con sus propias palabras la relación

que han descubierto. Como si tú hasta ahora no te hubieses enterado y ellos se encontrasen

con la clara necesidad de informarte de algo evidente que tú no quieres comprender. Te

ponen ejemplos que muestran la necesidad de tener el mismo o más dinero de lo que cuesta

para poder comprarlo. –Podemos asegurar que esta sencilla idea ha sido comprendida por

vez primera en algunos de estos niños–).

P: Esta bien, fijemos los precios de los objetos que aparecen en el problema.

(Diálogo. Unos hablan de caro y de barato, que depende..., que en su librería son muy careros.

Surge la necesidad de inventar un nombre para la librería: "Lapicerín", del mismo modo

que surge la necesidad de determinar qué tipo de lapicero o bolígrafo porque, como alguno

dice, "y si es de oro...", y obtenemos la formulación del siguiente enunciado: "En la librería

Lapicerín un lapicero de la marca A cuesta 80 céntimos y un bolígrafo de la marca B cuesta

1 Euro".

P: Si tengo 1 Euro, ¿tengo 80 céntimos?

(Algunos dicen que sí; otros, que no. Hablamos).

P: Si tienes 100, y sólo 100, ¿tienes 110?

A: No, porque nos falta.

P: ¿Lo que no tienes es lo que te falta?

A: Claro, porque... ( Ponen sus propios ejemplos).

A: Yo no estoy de acuerdo porque si yo tengo 3 Euros, no tengo 10 pero tampoco me faltan

10. Lo que me falta no siempre coincide con lo que no tengo, sólo en el caso de que no tenga

nada. (Ayudado por el profesor en la formulación de la idea. – Los niños suelen tener dificultad

de expresión, no de comprensión–).

P: ¿Estáis de acuerdo con lo dice...?

A: Sí.

P: Entonces, podemos decir que lo que no tenemos es lo que nos falta para llegar a tenerlo.

• Si tienes 80 céntimos, ¿qué te falta para tener 70?

A: Nada, me sobra.

P: Si tienes 80, ¿tienes 70?

(Todos afirman que sí, porque no te falta).

P: Volvamos al problema, ¿cuánto hemos dicho que cuesta el bolígrafo?

• ¿Cuánto hemos dicho que cuesta el lapicero?

• Si tenemos 1 Euro, ¿tenemos 80 céntimos?

• Sí.

• Entonces, con 1Euro, y sólo 1 Euro, podemos comprar las dos cosas, porque tenemos para

el bolígrafo y para el lapicero. ¿Qué pensáis? (Desafío) (Perplejidad absoluta. Silencio.

Tímidamente empiezan a hablar diciendo que si tenemos 1 y sólo 1 Euro, sólo podemos

comprar una de las dos cosas. Ellos dan sus explicaciones oportunas. Callamos. Cada vez

participan más niños apoyando la misma idea. Es entonces, cuando se les hace dudar:

Decíais que: "si tienes 1 Euro, tienes también 80", no entiendo por qué no podemos comprar

las dos cosas. Ellos, lo explican perfectamente)

Seguimos trabajando, establecemos "diferencia entre precios" para redactar el enunciado:

"... Un lapicero cuesta 20 céntimos menos que un bolígrafo. Un bolígrafo cuesta 1 Euro."

Intentamos averiguar el mínimo dinero que necesitamos tener para poder comprarlos. No hay

muchas dificultades: Primero, el precio del lapicero, después, el precio del bolígrafo.

Construimos una tabla de precios lapicero-bolígrafo, cuyo criterio constante es que el lapicero

siempre va a costar 20 céntimos menos que el bolígrafo, y completamos, según corresponda.

Antes de abordar la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos es necesario delimitar qué es lo que entendemos por problema.

Un problema es una cuestión a la que no es posible contestar por aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad, sino que para resolverla es preciso poner en juego conocimientos diversos, matemáticos o no, y buscar relaciones nuevas entre ellos.

En los problemas no es evidente el camino a seguir; incluso puede haber varios; y desde luego no está codificado y enseñado previamente. Hay que apelar a conocimientos dispersos, y hay que poner a punto relaciones nuevas.

Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras de su misma edad y formación parecida, que suelen ser las que aplican (generalmente de una manera inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente indicados para abordar los problemas. El conocimiento y la práctica de los mismos es justamente el objeto de la resolución de problemas, y hace que sea una facultad entrenable, un apartado en el que se puede mejorar con la práctica.

PAUTAS METODOLÓGICAS

De la afirmación anterior se derivan una serie de principios o pautas metodológicas que pueden orientar las estrategias didácticas para desarrollar la habilidad de resolver problemas.

1. El diálogo, la mayéutica, el arte de hacer preguntas.
2. Plantear al alumno situaciones problemáticas surgidas de contextos reales y que exijan planificar la acción, controlar y supervisar lo que hace y piensa, así como evaluar lo que ha obtenido.
3. Evitar el planteamiento de problemas matemáticos simples que conserven un mismo tipo de estructura y que demanden de manera reiterada y única un determinado tipo de respuesta
4. Plantear las situaciones problemáticas que el alumno ha de resolver en contextos y situaciones reales de acuerdo con su entorno, edad y experiencias previas de aprendizaje.
5. Crear un clima en el aula en el que se tolere la reflexión, la duda, la exploración y la discusión sobre las distintas maneras como puede aprenderse y pensarse sobre un tema

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS 

b) Inducir la reformulación verbal del problema

Consiste en propiciar que los alumnos (con la asistencia del profesor en la medida que resulte estrictamente necesario) reelaboren el enunciado del problema, utilizando para ello las palabras de uso familiar que les permitan precisar con mayor claridad cuál es la situación planteada en el problema, sin modificar su estructura original.

El uso de esta estrategia didáctica se apoya en el supuesto de que la comprensión de la situación planteada en el problema es fundamental para proceder a cualquier intento de solución y de que sólo se puede verbalizar de manera adecuada aquello que se ha comprendido satisfactoriamente.

Esta estrategia propicia un primer nivel de análisis que facilita la comprensión del problema en cuestión; lo que posibilita salvar la dificultad para interpretar los términos que aparecen en el enunciado de un problema; permite descartar, en su caso, si una solución incorrecta tiene que ver con una inadecuada interpretación del lenguaje en el que está expresado el problema, o con otro tipo de razones y, en la medida en que los alumnos puedan realizar dicha reformulación sin ayuda del maestro, permitirá que el alumno desarrolle una estrategia de aprendizaje sumamente valiosa para emprender la resolución de problemas matemáticos.

Sin embargo, sin un seguimiento cuidadoso, la reelaboración del enunciado puede alterar la estructura original del problema y, por consiguiente, llevar a una solución errónea del mismo. Por otra parte, si la reelaboración trae consigo una constante eliminación del lenguaje técnico o de palabras que obligarían al estudiante a ampliar no sólo su vocabulario, sino también la construcción de significados, esta estrategia puede resultar limitante para el logro de otro tipo de objetivos de aprendizaje que también se propician a través de la resolución de problemas.

c) Facilitar por medio de preguntas el análisis del enunciado del problema

En esta estrategia didáctica, el docente asume el papel de constructor de preguntas que faciliten a los alumnos identificar la información contenida de manera explícita o implícita en el enunciado del problema, descartar la que no sea relevante, descubrir si está presente toda la información necesaria para resolverlo y percibir las relaciones que pueden establecerse a partir de la información detectada, todo esto antes de idear un plan de resolución del problema.

Las preguntas pueden incluso generar que se recuperen de la memoria algunos conceptos y conocimientos declarativos, involucrados en el planteamiento del problema, aumentando con ello la probabilidad de que el estudiante elija atinadamente aquellos procedimientos que resulten pertinentes para alcanzar la solución del problema.

Esta estrategia puede ser útil para apoyar a los alumnos en el descubrimiento de qué tipo de elementos conviene analizar antes de elegir los procedimientos para la resolución de problemas y para impedir que de manera inmediata, después de una lectura superficial del problema, se lancen a la decisión de cuál o cuáles procedimientos de solución utilizar.

Como contrapartida, hay que hacer notar el riesgo de que origine en ellos cierta dependencia intelectual que finalmente les genere resistencia a un trabajo individual si no cuentan con la asistencia del docente cuando se les proponga resolver problemas matemáticos.

d) Facilitar la explicitación de los razonamientos presentes durante el proceso de solución del problema

Esta estrategia didáctica consiste en propiciar una especie de pensamiento en voz alta, ya sea durante la acción o después de ésta, que contribuya a que el alumno sea plenamente consciente de las razones por las que va tomando ciertas decisiones y concretándolas en la realización de algún procedimiento con la intención de resolver el problema.

La explicitación de los razonamientos presentes durante el proceso de solución del problema, se facilita mediante preguntas del tipo ¿cómo se te ocurrió esta forma de solución?, ¿qué pensaste cuando decidiste realizar tal operación?, ¿por qué decidiste este procedimiento y no otro?, ¿qué te ayudó a pensar de esa manera?, ¿qué pasaría si usaras tal procedimiento en lugar del que utilizaste?; o bien mediante solicitudes expresas como: explica a tus compañeros qué fuiste pensando mientras resolvías el problema o, si tú fueras el maestro ¿cómo le explicarías a tu grupo por qué este problema puede resolverse como tú lo hiciste?

El uso de esta estrategia didáctica tiene como propósito propiciar que el alumno llegue a desarrollar el pensamiento reflexivo, la capacidad de argumentar la toma de decisiones, controlar el sentido de sus  acciones y el desarrollo de habilidades metacognitivas.

Sin embargo, en su utilización habrá que cuidar que todos los alumnos tengan o lleguen a tener una participación en esta reflexión compartida, pues sólo de esa manera se podrá evitar el riesgo de que algunos estudiantes únicamente se acojan a las respuestas de los que usualmente solicitan participar.

Para saber más:

La enseñanza de la resolución de problemas matemáticos. El blanco y el negro de algunas estrategias didácticas. María Guadalupe Moreno Bayardo

http://educacion.jalisco.gob.mx/consulta/educar/15/15Moreno.html

Resolución de problemas

http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/prob_int.htm

Cuadernillos para la resolución de problemas. Editorial Dylar.

Fernández Bravo y libro de problemas creativos.

FISHER, Robert (2004). Juegos para pensar. 120 juegos para desarrollar la reflexión y el diálogo. Ediciones Obelisco. Barcelona. En la biblioteca.

BIBLIOGRAFÍA

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